C++で非線形方程式を解く (ニュートン法)

非線形方程式の解法（ニュートン法）を利用して2の平方根を求める

1. まず, 関数 上の点 を考える.
2. 点 における の接線と 軸との交点 は より解に近づいている.
3. この作業を繰り返して行くことで解を求める.

点 での接線の傾きは

なので,

この式を漸化式として用いる.

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x)
{
    return x * x - 2;  
}
double g(double x)
{
    return 2 * x;  
}

int main()
{
    double low = 1;
    double high = 2;
    double x = (low + high) / 2;

    while (true)
    {
        double dx = x;
        x = x - (f(x) / g(x));
        printf("%12.10f %12.10f\n", dx, x);

        if (fabs(x - dx) < 0.0000000001) break;
    }

    printf("%12.10f %12.10f\n", x, sqrt(2));
    return 0;
}

1.5000000000 1.4166666667
1.4166666667 1.4142156863
1.4142156863 1.4142135624
1.4142135624 1.4142135624
1.4142135624 1.4142135624

非線形方程式の解法（ニュートン法）を利用して2の立方根を求める

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x)
{
    return x * x * x - 2;  
}
double g(double x)
{
    return 3 * x * x;  
}

int main()
{
    double low = 1;
    double high = 2;
    double x = (low + high) / 2;

    while (true)
    {
        double dx = x;
        x = x - (f(x) / g(x));
        printf("%12.10f %12.10f\n", dx, x);

        if (fabs(x - dx) < 0.0000000001) break;
    }

    printf("%12.10f %12.10f\n", x, cbrt(2));
    return 0;
}

1.5000000000 1.2962962963
1.2962962963 1.2609322247
1.2609322247 1.2599218606
1.2599218606 1.2599210499
1.2599210499 1.2599210499
1.2599210499 1.2599210499

参考文献